两点的指数函数计算器

这个计算器的想法是估计函数 \(f(t)\) 的参数 \(A_0\) 和 \(k\) 定义为：

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

以便该函数通过给定的点 \((t_1, y_1)\) 和 \((t_2, y_2)\)。

但是,您如何从点中找到指数函数？

从技术上讲,为了找到您需要求解以下方程组的参数：

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\]

\[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

如果 \(t_1 = \not t_2\).

事实上,通过将等式两边相除：

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\]

\[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\]

\[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\]

\[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

为了求解 \(A_0\),我们从第一个方程中注意到：

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

你如何计算指数增长？

它并不总是增长。事实上,如果参数 \(k\) 为正,那么我们有指数增长,但如果参数 \(k\) 为负,那么我们有指数衰减。

仅当 \(y_1 = y_2\)（两个点具有相同的高度）时,参数 \(k\) 才会为零。

对于特定的指数行为,您可以查看我们的

指数增长计算器

和

指数衰减计算器

,它使用特定参数来实现那种指数行为。